Toán “Trung bình cộng” có gì hấp dẫn các bạn ?
Các bạn đồng nghiệp thân mến !
Trong chương trình toán ở Tiểu học thì toán “Trung bình cộng”(TBC) là dạng toán điển hình. Cũng giống như các dạng toán điển hình khác những bài giới thiệu trong SGK về TBC rất đơn giản, với mức độ theo chuẩn kiến thức kĩ năng( CKTKN ) đa số các em đạt được. Tuy nhiên trong quá trình dạy học đảm bảo phân hóa đối tượng HS có những bài toán dựa trên bài toán tìm số TBC ta phải biết những thuật toán mới giải quyết được nhanh. Loại bài này học sinh hay gặp trong thi VYOLYMPIC. Vì không biết thuật toán nên rất nhiều HS phải bỏ qua bài toán hoặc dừng cuộc thi. Mỗi GV cần có cách hiểu đa chiều về toán TBC tưởng như đơn giản nhưng rất cần tư duy sáng tạo. Từ những bài toán cơ bản ta sẽ gặp nhiều bài nâng cao với cách giải khác nhau trong quá trình dạy BDHSG lớp 4-5. Không phải bài toán nào cũng chỉ cần áp dụng công thức như SGK là giải quyết được. Nó đòi hỏi GV phải có kiến thức sâu rộng và biết một số thuật toán về toán TBC mới phân tích khoa học đề gợi mở giúp HS giải quyết được yêu cầu của đề bài nếu không làm được điều đó là ta đã hạn chế tư duy sáng tạo của các em.
Với nội dung khá phong phú, cấu trúc khoa học, phương pháp giải toán phù hợp với HSTH, sáng kiến (SK) “ Nâng cao chất lượng dạy toán trung bình cộng” phân tích chi tiết cách giải quyết nhiều dạng bài sẽ góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học toán TBC.
Từ những bài toán cơ bản đó phát triển thành rất nhiều bài toán hay gắn liền với yếu tố thực tế cuộc sống nhưng không có tài liệu tham khảo nào trình bày một cách tường minh để giáo viên tham khảo trong quá trình tự bồi dưỡng. Đặc biệt giải toán ở Tiểu học chỉ vận dụng các phương pháp số học không dùng lập phương trình hay hệ phương trình để giải.Vì vậy nhiều giáo viên lúng túng trong cách giải toán và rất khó khăn trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4;5.
Chương trình toán lớp 4 vừa luyện tập nội dung toán TBC, tôi trao đổi cùng các bạn nội dung đề tài “Nâng cao chất lượng dạy toán trung bình cộng” - Đề tài đạt sáng kiến cấp ngành. Xin chỉ trình bày một số nội dung chính trong đề tài.Do dung lượng khá dài nên tôi dự kiến sẽ đăng qua 8 bài viết. Đây là bài viết thứ ba .
Trân trọng cảm ơn sự quan tâm, động viên của các bạn!
nhungtieuhochongthai@gmail.com
DẠNG 2: Một số bài toán tìm một hoặc từng số hạng trong tổng giải bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Trong giải toán Tiểu học có thể nói dùng sơ đồ đoạn thẳng để tóm tắt và qua đó thấy hướng giải quyết bài toán là cách làm thông dụng rất phù hợp với tư duy HS Tiểu học. Đương nhiên không phải bài toán nào cũng có thể giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng nhưng rất nhiều bài nếu dùng các phương pháp khác phải lập luận nhiều trong khi đó vốn từ ngữ toán học của các em còn hạn chế trong những trường hợp cần lập luận chặt chẽ khoa học.Có nhiều dạng bài toán nói chung và toán Tìm số TBC nói riêng nếu dùng sơ đồ đoạn thẳng giúp các em nhận rõ quan hệ các dữ kiện đề bài cho, từ đó có thể nhanh chóng tìm ra hướng giải quyết bài toán. Tôi thiết nghĩ dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là rất gần gũi và phù hợp với khả năng nhận thức của HS. Vì ngay từ lớp 2 các em giải bài toán nhiều hơn, ít hơn, lớp 3 bài toán gấp số lần giảm số lần các em đã được luyện tập khá nhiều tóm tắt, giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Lớp 4, 5 cũng giống như một số dạng toán điển hình khác, bài toán TBC có thể giải bằng sơ đồ đoạn thẳng.Khi giải các bài toán tìm số TBC bằng sơ đồ đoạn thẳng ta cần biểu diễn các số hạng,TB giữa 2 hay một số số hạng bằng những đoạn thẳng khác nhau . Dựa vào mối quan hệ của điều kiện đã cho trong đề bài để tìm các số hạng. Đôi khi phải qua 1, 2 phép tính tìm tổng 2 ; 3 số hạng rồi mới vẽ sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các thành phần theo đề bài.
Cần chú ý những từ ngữ mà ta phải hiểu là TBC ví dụ như chia đều vào các túi, các hộp đều có x cái…
Kết luận : Một số bài toán tìm số TBCgiải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng có điểm chung là đều đi tìm ít nhất 1 số trong tập hợp n số.
- Nếu bài toán cho n số, phải đi tìm số bất kì trong đó thì phải biết đủ dữ kiện tìm (n-1) số. Nhiều bài toán phải qua 1 vài phép tính rồi mới vẽ sơ đồ đoạn thẳng.
Cách vẽ sơ đồ.
Vẽ một đoạn thẳng dài.
Chia đoạn thẳng đó thành n phần bằng nhau để tìm TBC của n số.
Xác định độ lớn của số cần tìm (Thường có 4 trường hợp chính)
+Trường hợp 1 : Biết số cần tìm bằng TBC của (n-1) số.
+Trường hợp 2 : Biết số cần tìm kém TBC của n số một số đơn vị.
+Trường hợp 3 : Biết số cần tìm hơn TBC của n số một số đơn vị.
+ Trường hợp 4 : Biết tỷ số của số cần tìm với TBC của n số .
Ngoài ra 1 số bài khi vẽ cần chú ý đặt tổng của chúng so với tổng mới khi thay đổi một số hạng trong đó để tìm ra mối quan hệ giữa chúng.
Ví dụ 1; Mẹ mua về 3 loại quả gồm: mơ, mận, chanh. Mơ có 20 quả, chanh hơn mơ 4 quả .mận có số quả bằng TB của 3 loại quả. Hỏi mẹ đã mua bao nhiêu quả mận?
Phân tích: Có 3 loại quả mà mận bằng TBC 3 loại đó hay chính là 1/3 của tổng số 3 loại hay bằng TBC của 2 loại quả còn lại.
Vậy phải tìm tổng số quả hai loại còn lại mới tìm được TBC của chúng.
Sơ đồ.
Bài giải
Tổng số mơ và chanh có số quả là
20 + (20 + 4) = 44(quả)
Mận có số quả là
44: 2 = 22 (quả mận)
Đáp số: 22 quả mận
Ví dụ 2: Tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) trong một đội bóng là 21 tuổi. Biết rằng tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình của cả đội là 10 tuổi. Hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi?
Phân tích : Bài toán hỏi tìm số tuổi của người thứ 11 khi đã cho biết tuổi TB của 10 người trước đó và cho biết quan hệ tuổi của đội trưởng với tuổi trung bình cả đội .
Ta có sơ đồ sau :
Bài giải
Tổng số tuổi của 10 cầu thủ không kể đội trưởng là:
21 x 10 = 210 (tuổi)
Vậy tuổi trung bình của toàn đội là:
(210 + 10) : 10 = 22 (tuổi)
Tuổi của đội trưởng là:
22 + 10 = 32 (tuổi)
Đáp số : 32 tuổi
Luyện tập
Bài 1 :Mẹ đi chợ mua một số quả gồm lê, cam, táo, trong đó có 12 quả táo. Biết rằng nếu đem chia đều số lê và cam vào 2 rổ thì mỗi rổ có 15 quả. Nếu đem chia đều số cam và táo vào 2 rổ thì mỗi rổ ít hơn lê là 3 quả hỏi mẹ đã mua bao nhiêu quả lê, bao nhiêu quả cam ?
Phân tích : Khi chia đều số lê và cam vào 2 rổ mỗi rổ có 15 quả. ta sẽ tìm được tổng số 2 loại đó. Kết hợp 12 quả táo sẽ tìm được tổng số 3 loại. Khi đó cả táo và cam coi là số lớn gồm 2 phần bằng nhau thì lê là 1 phần như thế và thêm 3 quả.
Bài giải
Tổng số cam và lê có là :
15 x 2 = 30 (quả)
Tổng số cả ba loại quả có là :
12 + 30 = 42 (quả)
Ta có sơ đồ bài toán như sau:
Đáp số : Cam : 14 quả ; lê 16 quả.
Bài 2 : An có 20 viên bi, Bình có nhiều hơn An 4 viên bi.Cúc có số bi ít hơn TBC của ba bạn là 2 viên. Hỏi Cúc có mấy viên bi ?
Phân tích. Số bi của Cúc ít hơn TBC của ba bạn là 2 viên hay số bi của Cúc bằng 1/3 tổng số bi bớt 2 viên . Nên số bi của An và Bình là 2/3 tổng số bi thêm 2 viên.
Bài giải
Số bi của Bình và An có là :
20 + 4 +20 = 44 (viên bi)
Số bi của Cúc ít hơn TBC số bi của 3 bạn nên ta có sơ đồ :
Đáp số : 19 viên bi
Bài 3 : An có 20 viên bi, Bình có 24 viên bi,Hồng có số bi gấp rưỡi số bi của Bình .Cúc có số bi hơn TBC số bi của cả 4 bạn là 1 viên. Tìm số bi của Cúc ?
Phân tích : Có 4 bạn với số bi mỗi bạn khác nhau. Cần tìm số bi của Cúc nhưng trước đó phải tìm số bi của Hồng rồi dựa vào mối quan hệ trong bài để tìm số bi của Cúc.
Bài giải
Hồng có số bi là:
24 : 2 x 3 = 36 (viên)
3 bạn An, Bình, Hồng có số bi là:
20 + 24 + 36 = 80 (viên)
Cúc có số bi hơn TBC số bi của 4 bạn là 1 hay bằng 1/4 số bi của 4 bạn và 1 viên. Tổng số bi của 3 bạn An, Bình, Hồng là 3/4 tổng số bi bớt 1 viên.
Ta có sơ đồ sau:
Đáp số : 28 viên bi
Bài 4 : Bốn bạn góp bi chơi chung như sau : Xanh góp 21 viên, Đỏ góp 24 viên, Tím góp số bi bằng 4/5 số bi Xanh và Đỏ góp. Vàng góp số bi bằng 2/3 TB số bi của Xanh, Đỏ, Tím và 1 viên.Hỏi Vàng góp bao nhiêu viên bi ?
Phân tích : Bài toán hỏi 1 trong n số khi cho biết tỷ số của số đó với TBC của (n-1) số.
Bài giải:
Số bi Tím đã góp là :
(21 + 24) : 5 x 4 = 36 (viên)
TB số bi của 3 bạn Xanh, Đỏ, Tím là
(21 + 24 + 36) : 3 = 27 ( viên bi)
Ta có sơ đồ sau:
Đáp số : 19 viên bi
Bài 5 : Tí có một số viên bi gồm xanh, đỏ, vàng. Biết rằng nếu chia đều số bi đó vào 3 hộp thì mỗi hộp sẽ có số bi nhiều hơn số bi xanh là 2 viên ít hơn số bi đỏ là 1 viên và bằng 5/6 số bi vàng. Hỏi Tí có bao nhiêu viên bi mỗi loại ?
Phân tích ; Bài toán cho biết quan hệ số bi ở mỗi hộp hay đây chính là TBC số bi mỗi loại hay 1/3 tổng số bi với từng số bi mỗi màu.. Do vậy ta có thể dùng sơ đồ đoạn thẳng biểu diễn mối quan hệ đó và giải bài toán.
Ta thấy : Nếu coi tổng số bi là ba đoạn thẳng bằng nhau thì số bi ở mỗi hộp hay TB số bi là 1 đoạn trong đó . Số bi xanh là đoạn ngắn hơn đoàn thẳng đó 2 viên, số bi đỏ là đoạn thẳng dài hơn đoạn thẳng đó 1 viên bi.đồng thời đoạn thẳng đó chia làm 5 phần bằng nhau thì đoạn thẳng biểu diễn số bi vàng là 6 phần như thế.
Từ sơ đồ ta sẽ tìm được hiệu giữa số bi ở mỗi hộp với số bi từng loại màu hoặc ngược lại.
Bài giải.
Đáp số : Bi xanh : 3 viên ; Bi đỏ 6 viên ; bi vàng 6 viên.
Bài 6 : Một trường tiểu học khối 4 gồm có 3 lớp. Trong đó lớp 4A có 26 học sinh, lớp 4 B có ít hơn trung bình cộng của hai lớp 4A và 4C là 3 hs.Biết TB học sinh một lớp trong khối là 30. Hãy tìm số HS của 4B và 4C
Bài giải
Tổng số học sinh 3 lớp là:
30 x 3 = 90 (hs)
Ta có sơ đồ
Đáp số : 4B : 28 hs
4C : 36 hs
Bài 7 : OLYMPIC tỉnh VĨNH PHÚC (Đề in trên Toán Tuổi Thơ 1)
Trung bình cộng 3 số là 19 .Nếu số thứ nhất gấp 7 lần thì TBC mỗi số là 45. Nếu tăng số thứ hai lên 4 lần thì TB mỗi số là 38. Tìm số thứ ba ?
Ta có sơ đồ tóm tắt :
Bài giải
Đáp số : 25
Bài 8 (Đề in trên toán tuổi thơ số 157)
Trung bình cộng của ba phân số bằng 7/6. Nếu tăng phân số thứ nhất lên 2 lần thì trung bình cộng bằng 41/30, nếu tăng phân số thứ hai lên 2 lần thì trung bình cộng sẽ bằng 13/9 . Tìm ba phân số đó.
Tóm tắt:
Bài giải
Tổng ba phân số là :
7/6 x 3 = 21/6
Khi phân số thứ nhất tăng 2 lần thì tổng ba phân số khi đó hơn tổng ban đầu chính là giá trị của phân số thứ nhất.
41/30 x 3 - 21/6 = 6/10
Khi phân số thứ hai tăng 2 lần thì tổng 3 phân số khi đó hơn tổng ban đầu chính là giá trị của phân số thứ hai.
13/9 x 3 - 21/6 = 5/6
Vậy phân số thứ ba là
21/6 - 6/10 - 5/6 = 31/15
Đáp số :
PSTN : 6/10
PST2 : 5/6
PST3 : 31/15
Bài 9 ( Đề thi HSG lớp 4 tỉnh Hải Dương năm học 2000- 2001)
Trung bình cộng của tuổi bà tuổi mẹ và tuổi cháu là 36 tuổi. Trung bình cộng tuổi mẹ và cháu là 23 tuổi, bà hơn cháu 54 tuổi. Hãy tính tuổi mỗi người.
Tóm tắt
Bài làm
Đáp số : Bà : 62 tuổi ; Mẹ : 38 tuổi ; Cháu : 8 tuổi.
Bài 10 ( Đề HSG huyện Gia Lộc Năm học 2009-2010)
Ông Ba mua một số túi thóc giống. Ông nhẩm tính nếu ông mua thêm 3 túi thóc nữa mỗi túi 10 kg thì TBC tất cả các túi khi đó là 8 kg. Nếu ông mua thêm 2 túi thóc nữa mỗi túi 9 kg thì TBC tất cả các túi khi đó chỉ là 7,5 kg. Hỏi ông Ba đã mua mấy túi thóc giống.
Nhận xét, phân tích : Đây là một bài toán khó . Chúng ta đi vào phân tích so sánh quan hệ giữa số kg thêm vào ( 3 túi loại 10 kg với 2 túi loại 9 kg) để tìm sự chênh lệch. Đã rất nhiều người nhầm giữa tổng số kg được thêm vào. !
Ta coi TB của lần 1 khi thêm là 1 đoạn thẳng, thì TB của lần 2 khi thêm là 1 đoạn thẳng ngắn hơn đoạn vùa vẽ là (8 – 7,5 = 0.5).
Ta có tổng TB 3 túi lần 1 và tổng TB 2 túi lần 2.
Tóm tắt
Bài giải
Số ki-lô-gam thóc bù vào để các túi đủ 8 kg là:
10 x 3 – 8 x 3 = 6 ( kg)
Số ki-lô-gam thóc bù vào để đủ mỗi túi 7,5 kg là :
9 x 2 - 7,5 x 2 = 3 ( kg)
Số ki-lô-gam bù để đủ mỗi túi 8 kg hơn số ki-lô-gam thóc bù vào để mỗi túi đủ 7,5 kg là :
6 - 3 = 3 ( kg)
Vậy số túi bác Ba mua là :
3 : ( 8 – 7,5) = 6 ( túi )
Đáp số : 6 túi
(Còn nữa)
Hồng Thái, tháng 11 năm 2018.
Người viết bài
Trịnh Thị Nhung